Responsable: Prof. Jorge Moretti
Resumen: En el curso se trabaja con las ecuaciones diofánticas lineales, el resto chino y algunas ecuaciones diofánticas de segundo grado con el fin de despertar el interés en temas que no por simples dejan de ser motivadores.
En cuanto a las ecuaciones diofánticas lineales, es fundamental el Algoritmo de Euclides Extendido. Una de las propiedades fundamentales de ese algoritmo lleva a que el máximo común divisor de dos números naturales es una combinación lineal con coeficientes enteros de esos dos números.
En relación con el resto chino, importa señalar que, según D. Wells, el siguiente problema fue presentado por Sun Tsu Suan-Ching (siglo IV dC): Hay ciertos casos donde un número es desconocido: dividido por 3 da resto 2, dividido por 5 da resto 3 y dividido por 7 da resto 2. ¿Cuál será ese número?
Finalmente, las ecuaciones diofánticas de segundo grado que se estudian motivan la determinación de puntos con coordenadas enteras en algunas cónicas y en una esfera.
| Tema | Contenido | Duración |
| Ecuaciones diofánticas lineales con dos incógnitas | Introducción. El Algoritmo de Euclides Extendido. Propiedades del Algoritmo de Euclides Extendido. Planteo y resolución del problema de las ecuaciones diofánticas lineales con dos incógnitas. La identidad de Bezout. Ejemplos y ejercicios. | Dos semanas |
| Ecuaciones diofánticas lineales con tres o másincógnitas. | Planteo y resolución del problema de las ecuaciones diofánticas lineales con tres incógnitas. Ecuaciones diofánticas lineales con más de tres incógnitas. Ejemplos y ejercicios. | Dos semanas |
| El resto chino | El problema clásico del resto chino. Generalización del problema clásico del resto chino. El teorema del resto chino. Resolución de la generalización del problema clásico del resto chino (inédito). Ejemplos y ejercicios . | Dos semanas |
| Función de Euler y algunas ecuaciones diofánticas de segundo grado | Función de Euler (definición, propiedades y curiosidades). Un programa y un vínculo entre la función Euler y el resto chino. Algunas Ecuaciones Diofánticas de segundo grado: xy=k, con k entero no nulo; x2-y2=a ,con a entero no nulo;x2+y2=a, con a natural no nulo; x2+2y2=a, con a natural no nulo; x2-2y2=a, con a entero no nulo;ax2+bxy+cy2=0, con a, b y centeros no todos nulos; x2-dy2=1,con d natural no cuadrado perfecto;x2+y2=z2 (ecuación pitagórica). Ejemplos y ejercicios. | Tres semanas |
Duración: 9 semanas
Modalidad: Virtual
Dedicación estimada: 10 horas semanales
Comienzo: 26 de agosto de 2024
Encuentros virtuales: 7 y 28 de septiembre, 12 de octubre, 9 de noviembre (De 10hs a 12hs)
Requerimientos: Conocimientos básicos sobre divisibilidad.
Evaluación: Al finalizar cada tema se propondrá una prueba de evaluación, la cual no será obligatoria, pero sí imprescindible para obtener el certificado de aprobación del curso, Cada prueba de evaluación se calificará de 0 a 12. Para la aprobación del curso se exigirá un mínimo de 4 en cada prueba y un promedio superior a 5.
Tarifas: El curso está destinado únicamente a socios de Semur y es gratuito.
Cupos: Las inscripciones se cerrarán al alcanzar los 20 inscriptos.
