Recordemos que en un espacio de Probabilidad $(\Omega, \mathcal{F}, P)$, $\mathcal{F}$ es una $\sigma$-álgebra de subconjuntos de $\Omega$.
Cuando tabajamos sobre $\mathbb{R}$ hemos visto que nos interesa la $\sigma$-álgebra que contenga a todos los intervalos: abiertos, cerrados, semiabiertos, acotados o no. La ''mínima'' $\sigma$-álgebra que contiene a todos esos intervalos es llamada de Borel y sus elementos (que son subconjuntos de $\mathbb{R}$) son llamados borelianos.
| ¿Cómo definirías la mínima $\sigma$-ágebra que contiene a los intervalos abiertos? |
La familia formada por intervalos abiertos es un conjunto incluído en la $\sigma$-álgebra de Borel, que lo genera, es decir, si intersecamos todas las $\sigma$-álgebras que contengan a los abiertos obtenemos justamente la de Borel.
|
Sea $\Theta$ una familia de subconjuntos de un espacio muestral $\Omega$, llamamos $\sigma$-álgebra generada por $\Theta$, a la intersección de todas las $\sigma$-álgebras que contienen a $\Theta$, es decir:
$\sigma(\Theta)=\bigcap_{ \mathcal{A}^*: \Theta\subset\mathcal{A}^*}\mathcal{A}^*$
donde $\mathcal{A}^*$ son $\sigma$-álgebras sobre $\Omega$.
|
Ejercicio 1:
Si $\Theta_1$ esta incluido en la $\sigma$-álgebra generada por $\Theta_2$, probar que la $\sigma$-álgebra generada por $\Theta_1$ está
contenida en la $\sigma$-álgebra generada por $\Theta_2$.
Ejercicio 2:
Probar que coinciden las $\sigma$-álgebras de subconjuntos de $\mathbb{R}$ generadas por:
- Los intervalos abiertos $ \Theta_1 = \{ (a,b):a<b \} $.
- Los intervalos cerrados $ \Theta_2 = \{ [a,b]:a<b\} $.
- Los intervalos cerrados no acotados inferiormente $ \Theta_3 = \{ (-\infty,b]:b \in \mathbb{R} \}$.
Técnicamente, cuando tenemos una variable aleatoria queremos calcular la probabilidad de $X^{-1}(B)=\{\omega\in \Omega: X(\omega)\in B\}$, para cualquier boreliano $B$. Esto nos obliga a exigir que $X^{-1}(B)$ sea un suceso, es decir, $X^{-1}(B)\in \mathcal{F}$ para todo boreliano $B$.
A partir de que la familia de intervalos $\Theta_3$ genera a la $\sigma$-álgebra de Borel, podemos obtener que en la definición de variable aleatoria, basta exigir la condición mostrada en el video: $X^{-1}(\infty,x]=\{\omega\in \Omega: X(\omega)\leq x\}\in \mathcal{F}$, en lugar de exigirlo para todos los borelianos.